transformasi linear

5.1 PENGANTAR TRANSFORMASI  LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vector dari sebuah peubah vector. Yakni, fungsi yang berbentuk W = F (v), dimana baik peubah bebas v maupun peubah tak bebas w adalah vector. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vector yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu social, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vector dan F dalah sebuah fungsi yang mengasosiasikanvektor unik  di W dengan setiap vector terletak  di V, maka kita katakana F memetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:V → W . lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vector w dengan vector v, maka kita tuliskan W = F (v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang fektor v dinamakan domain F.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vector di R² , maka rumus :

F (v) = (x,x + y,x – y)

Mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³ . khususnya, jika v = (1 , 1), maka x = 1 dan y = 1, sehinggah bayangan dari v di bawah  F adalah  F(v) = (1 , 2, 0) dengan demikian, domain F adalah R².

Definisi. Jika F:V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vector V ke dalam ruang vector W, maka F kita namakan transfor,asi linear ( linear transformation) jika (i).  F (u+v) = F (v) untuk semua vector u dan v di V. (ii). F (ku) = kF (u) untuk semua vector u di dalam V dan semua scalar k.

Untuk melukiskannya, misalkan F:R² → R³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh (5.1). jika u = (x_1, y₁) dan v = ( x_2, y₂ ), maka u + v = ( x₁ + x₂ . y₁ + y₂ ), sehinggah :

F ( u + v ) = ( x₁ + x_2, [ x₁ + x₂ ] + [ y₁ + y₂ ], [ x₁ + x₂ ] - [ y₁ + y₂ ] )

                 = ( x_1, x₂ + y₁, x₁ – y₁) + (x_2, x₂ + y_2, x₂ – y₂ )

                 = F (u) + F ( v)

Demikian juga, jika k adalah sebuah scalar, ku = ( kx_1, ky₂ ), sehingga

F (ku) = ( kx_1, kx₁ + ky_1, kx₁ – ky₁ )

                                                            = k ( x_1,x₁ + y_1, x₁ – y₁)

                                                            = k F(u)

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:V→W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang scalar k₁ dan k₂, kita peroleh

                        F ( k₁v₁ + k₂v₂) = F (k₁v₁) + F ( k₂v₂ ) = k₁F ( v₁) + k₂F (v₂)

Demikian juga, jika v₁,v_2,….., v_n adalah vector- vector di V dan k_1,k_2,…..k_n adalah scalar, maka

                        F (k₁v₁+ k₂v₂+ … + k_nv_n) = k₁F ( v₁ ) + k₂F (v₂)+…+ k_nF (v_n)            (5.2)

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vector di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita definisikan sebuah fungsi T:Rⁿ→R^m dengan

T (x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1: jadi T memetakan  Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1  dan misalkan k adalah sebuah scalar. Dengan menggunakan sifat- sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

A ( u + v ) = Au + Av dan A (ku) = k (Au)

Atau secara ekivalen

T ( u + v ) = T (u) + T (v) dan T (ku) + k (Tu)

Kita akan menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

contoh :

misalkan V adalah sebarang ruang vector. Pemetaan T:V → V yang didefinisikan oleh  T(v)  = v kita namakan transformasi identitas pada V. pembuktian bahwa T linear kami biarkan sebagai latihan bagi anda.

 T:V →V adalah transformasi linear dari ruang vector V itu sendiri, maka T kita namakan operator linear pada V.

Contoh :

Misalkan V adalah sebarang ruang vector dan k adalah sebarang scalar tetap, kami biarkan pembuktiannya sebagai latihan buat anda  untuk memeriksa apakah fungsi T:V → V yang di didefinisikan oleh

T (v) = kv

Adalah sebuah operator linear pada V . jika k > 1, T kita namakan dilasi dari V dan jika           0 < k < 1, maka  T, kita namakan konteraksi dari V. secara geometris, maka dilasi  “ merenggangkan “ masing- masing vector di V dengan sebuah vector k, dan kontraksi dari V “ memampatkan “ masing-masing vector dengansebuah factor sebesar k.